kentr0: Διαφορικό Συνάρτησης

Κυριακή 25 Νοεμβρίου 2012

Διαφορικό Συνάρτησης

Το σύμβολο $\frac{dy}{dx}$ δεν είναι πηλίκο.

Από τον Ροδόλφο Μπόρη , mathematica.gr

Επειδή συνήθως στη φυσική παρουσιάζεται το $\displaystyle{dt}$ (διαφορικό) παρόλο που δεν βρίσκεται στην ύλη οι δυο επόμενες παράγραφοι εξηγούν τί είναι το διαφορικό.

Έστω λοιπόν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\to R}$ και ας είναι $\displaystyle{x_0}$ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Α. Τότε την γραμμική συνάρτηση $\displaystyle{g:R \to R}$ με τύπο $\displaystyle{ g(h)=f(x_0 )(h)}$ ονομάζουμε διαφορικό της $\displaystyle{ f }$ στο σημείο $\displaystyle{ x_0}$ και συμβολίζουμε με: $\displaystyle{df(x_0 )(h)}$ . Δηλαδή: $\displaystyle{df(x_0 )(h)=f'(x_0 ) h}$ .

Για οικονομία του συμβολισμού, όπως αντί να γράφουμε π.χ $\displaystyle{y(h)=h^2 }$ , γράφουμε $\displaystyle{y=h^2}$ , έτσι και για το διαφορικό γράφουμε $\displaystyle{df(x_0 )}$ οπότε $\displaystyle{df(x_0 )=f'(x_0 )h}$ . Μια γεωμετρική ερμηνεία ξεκαθαρίζει περισσότερο τα πράγματα , τονίζοντας την διαφορά του διαφορικού από την μεταβολή των τιμών της συνάρτησης.

Με $\displaystyle{\Delta f(x_0))}$ συμβολίσαμε την διαφορά των τιμών $\displaystyle{ f(x_0+h)-f(x_0)}$ .

Παρατήρηση: Για τις συναρτήσεις με τύπους $\displaystyle{y(x)=ax+b}$ η μεταβολή των τιμών τους $\displaystyle{\Delta y}$ και το διαφορικό τους $\displaystyle{dy}$ ταυτίζονται πράγμα όμως που δεν αληθεύει για τις υπόλοιπες συναρτήσεις γενικά.

Το $\displaystyle{dx}$

Αν $\displaystyle{T(x)}$ η ταυτοτική συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{T(x) = x}$ τότε από την προηγούμενη παρατήρηση θα είναι $\displaystyle{\Delta T(x) = dT(x)}$ η πιο σύντομα αφού $\displaystyle{T(x) = x}$ είναι $\displaystyle{\Delta x = dx.}$ Mπορούμε τώρα να αποκτήσουμε έναν διάσημο τύπο.

Πράγματι έχουμε:
$\displaystyle{dT(x)(h)=T'(x)h,dx(h)=(x)'h (T(x)=x),dx(h)=h}$ (και απλοποιώντας τον συμβολισμο) , $\displaystyle{dx=h}$ . Τώρα για οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση f με βάση τον ορισμό θα είναι:

$\displaystyle{ df(x)(h)=f'(x)h,df(x)=f'(x)h, df(x)=f'(x)dx}$

Αυτός ο τελευταίος τύπος δεν μπορεί να αποτελέσει ορισμό του διαφορικού γιατί ορίζει το διαφορικό μέσω ενός άλλου διαφορικού.

Προσοχή !! Η παράγωγος δεν μπορεί να οριστεί σαν πηλίκο διαφορικών γιατί θα υπάρξουν προβλήματα μηδενισμού του παρανομαστή. Η παραδοχή στοιχειωδών (απειροστών) ποσοτήτων δεν θεμελιώνεται αυστηρά. Η χρήση αυτών των πραγμάτων
εξυπηρετεί μόνον εκπαιδευτικούς σκοπούς και ιδιαίτερα στην φυσική.

Επειδή το διαφορικό μιας $\displaystyle{f(x)}$ είναι ανεξάρτητο του $\displaystyle{x}$ (μεταβλητή του είναι μόνον το h) θα ισχύουν:

$\displaystyle{d/dx (dx)=0 , d(dx)=0 .}$

Η εισαγωγή της έννοιας του διαφορικού εξυπηρετεί την προσπάθεια ευθυοποίησης μιας καμπύλης, δηλαδή της αντικατάστασης της από τμήματα ευθειών που είναι από τις πιο απλές συναρτήσεις. Τοπικά λοιπόν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να προσεγγίζεται από τμήματα ευθειών και πιο συγκεκριμένα από τις εφαπτόμενες της στα αντίστοιχα σημεία.